Operasi hitung bilangan meliputi : perkalian, pembagian, penjumlahan, dan pengurangan. Operasi hitung bilangan ini sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Untuk lebih memahami operasi hitung campuran bilangan bulat, ada baiknya kita ketahui terlebih dahulu apa itu bilangan bulat. Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, ...) dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0 sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan Bulat dinotasikan dengan : B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Bilangan lain yang berada dalam bilangan bulat, di antaranya adalah bilangan:
- Cacah : C = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
- Ganjil : J = {1, 3, 5, 7, ...}
- Genap : G = {2, 4, 6, 8, ...}
- Cacah Kuadrat : K = {0, 1, 4, 9, ...}
- Prima : {2, 3, 5, 7, 11, ...}
A. Sifat-sifat Operasi Hitung
1. Sifat Komutatif
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Untuk lebih jelasnya, perhatikan penjumlahan berikut.
- 2 + 4 = 6
- 4 + 2 = 6
- Jadi, 2 + 4 = 4 + 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan perkalian berikut.
- 2 × 4 = 8
- 4 × 2 = 8
- Jadi, 2 × 4 = 4 × 2.
Sifat seperti ini dinamakan sifat komutatif pada perkalian.
Perhatikan contoh berikut.
a. 2 – 4 = –2 dan 4 – 2 = 2
Jadi, 2 – 4 tidak sama dengan 4 – 2, atau 2 – 4 ≠ 4 – 2.
b. 2 : 4 = 0,5 dan 4 : 2 = 2
Diperoleh bahwa 2 : 4 tidak sama dengan 4 : 2, atau 2 : 4 ≠ 4 : 2
Jadi, pada pengurangan dan pembagian tidak berlaku sifat komutatif.
2. Sifat Asosiatif
Pada penjumlahan dan perkalian tiga bilangan bulat berlaku sifat asosiatif atau disebut juga sifat pengelompokan. Perhatikanlah contoh penjumlahan tiga bilangan berikut.
- (4 + 3) + 5 = 7 + 5 = 12
- 4 + (3 + 5) = 4 + 8 = 12
- Jadi, (4 + 3) + 5 = 4 + (3 + 5).
Sifat seperti ini dinamakan sifat asosiatif pada penjumlahan.
Sekarang, coba perhatikan contoh perkalian berikut.
- (4 × 3) × 5 = 12 × 5 = 60
- 4 × (3 × 5) = 4 × 15 = 60
- Jadi, (4 × 3) × 5 = 4 × (3 × 5).
Sifat ini disebut sifat asosiatif pada perkalian.
3. Sifat Distributif
Selain sifat komutatif dan sifat asosiatif, terdapat pula sifat distributif. Sifat distributif disebut juga sifat penyebaran. Untuk lebih memahaminya, perhatikanlah contoh berikut.
Contoh 1
3 × (4 + 5) = 3 × 9 = 27
(3 × 4) + (3 × 5) = 12 + 15 = 27
Jadi, 3 × (4 + 5) = (3 × 4) + (3 × 5).
Contoh 2
3 × (4 – 5) = 3 × (–1) = –3
(3 × 4) – (3 × 5) = 12 – 15 = –3
Jadi, 3 × (4 – 5) = (3 × 4) – (3 × 5).
Contoh 1 dan Contoh 2 menunjukkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan.
1. Operasi Hitung Bilangan Bulat
Penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.
- Jika kedua bilangan tandanya sama, maka ,tanda hasil penjumlahan sama dengan tanda kedua buah bilangan.
- Hasilnya sama dengan penjumlahan kedua bilangan tersebut.
Contoh :
1. Hasil dari 17 + 15 = 32
2. Hasil dari -16 + (-20) = - 36
- Jika kedua bilangan tandanya berbeda maka, tanda hasil penjumlahan, sama dengan tanda bilangan terbesar dalam penjumlahan tersebut.
- Hasil sama dengan selisih antara bilangan terbesar dengan bilangan terkecil dalam penjumlahan tersebut
Contoh soal :
1. Hasil dari – 24 + 12 =
- Bilangan yang terbesar dalam penjumlahan tersebut adalah -24 maka hasilnya pun pasti –).
- Hasilnya sama dengan selisih antara penjumlahan dua bilangan tersebut = 24 – 12 = 12. Maka jika digabungkan dengan 2(a) dan 2(b) hasilnya jadi -12.
2. Hasil dari 65 – (-35) + (-45) =
Untuk soal seperti di atas, kerjakan terlebih dahulu dari sebelah kiri. Yaitu 65 – (-35) diubah menjadi 65 + 35 = 100 tinggal dikurangi dengan – 45. Menjadi seperti berikut 100 – 45 = 55
b.Perkalian dan pembagian bilangan bulat
Pada dasarnya perkalian bilangan bulat hampir sama dengan perkalian bilangan cacah. Namun pada perkalian bilangan bulat terdapat aturan perkalian tanda dengan tententuan :
- (+) x (+) = (+)
- (+) x (-) = (-)
- (-) x (+ = (-)
- (-) x (-) = (+)
Dalam operasi pembagian bilangan bulat juga berlaku aturan, sebagai berikut :
- (+) : (+) = (+)
- (+) : (-) = (-)
- (-) : (+) = (-)
- (-) : (-) = (+)
Contoh soal :
1. 12 x (-7) = -84
2. -15 x (-15) = 225
3. -60 : 5 = -12
B. Operasi hitung campuran bilangan bulat
Untuk mengerjakan operasi hitung campuran bilangan bulat, perlu diperhatikan urutan pengerjaannya sebagai berikut :
- Pengerjaan dalam tanda kurung dikerjakan terlebih dahulu.
- Perkalian dan pembagian mempunyai kedudukan yang lebih kuat dibandingkan dengan penjumlahan dan pengurangan.
- Perkalian dan pembagian memiliki kedudukan yang sama, artinya pengerjaan perkalian dan pembagian dilakukan terlebih dahulu. Apabila dalam pengerjaan hitung terdapat perkalian dan pembagian, maka yang dikerjakan terlebih dahulu adalah pengerjaan sebelah kiri dahulu.
- Penjumlahan dan pengurangan memiliki kedudukan yang sama. Apabila dalam pengerjaan hitung terdapat penjumlahan dan pengurangan, maka yang dikerjakan terlebih dahulu adalah pengerjaan yang berada di sebelah kiri dahulu.
Contoh soal :
1. 34 x (-24) – (-4) = -816 – (-4)
= -816 + 4
= - 812
2. (-75) : (-5) – (-13) = 5 – (-13)
= 5 + 13
= 18